Interview
Quel est ton parcours ?
J'ai fait l'ENS à Lyon (entre 2001 et 2004) et mon DEA (ça s'appelait encore comme ça) à Grenoble. J'ai fait mon stage de DEA avec Frédéric Campana à Nancy qui est ensuite devenu mon directeur de thèse (2004-2007). J'ai été recruté CR au CNRS en octobre 2008 avec comme première affectation l'Institut Fourier à Grenoble. En 2010, j'ai obtenu un changement d'affectation pour Nancy (Institut Elie Cartan). J'y suis resté jusqu'en 2017 et mon recrutement à Rennes. À noter, ma famille et moi sommes partis un an (2013-2014) à l'IMPA de Rio dans le cadre de l'UMI entre le CNRS et l'IMPA.
Parle-nous de tes thèmes de recherche.
Je travaille en géométrie complexe avec un penchant assez marqué pour la géométrie algébrique complexe. Les objets d'étude de cette branche des mathématiques sont les variétés complexes : ce sont des espaces qui sont modelés sur les (ouverts des) espaces $\mathbb{C}^n$ et la "colle" utilisée pour assembler tous les morceaux est une colle holomorphe. Prenons l'exemple du cas $n=1$ : une variété complexe de dimension 1 est aussi appelée une surface de Riemann : c'est une surface où l'on s'est donné une façon d'identifier des morceaux de celle-ci avec des disques dans $\mathbb{C}$. On essaie alors d'étudier la géométrie de ces objets avec des outils qui proviennent de l'analyse complexe (fonctions holomorphes, structures locales des ensembles analytiques) et de la géométrie différentielle (formes différentielles et champs de vecteurs, métriques hermitiennes).
Un exemple je l'espère un peu plus explicite de variétés complexes provient du monde de la géométrie algébrique. Si l'on choisit un certain nombre de polynômes $P_1,\dots,P_k$ (à coefficients complexes) en les variables $x_1,\dots, x_N$, alors l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient les équations $P_i(x_1,\dots, x_N)=0$ pour tout $1\le i\le k$ est en général une variété complexe de dimension $n=N-k$. On préfère souvent travailler avec des versions "compactifiées" de ces objets : on rajoute des points à l'infini à ces ensembles et on obtient ce que l'on appelle une variété algébrique projective. Les surfaces de Riemann (compactes) évoquées plus haut sont des exemples de variétés projectives. Par exemple, les courbes dites elliptiques ont toutes une équation dites de Weiesrtaß de la forme $y^2z=4x^3+g_2xz^2+g_3z^3$ (avec $g_2$ et $g_3$ des nombres complexes).
Un de mes centres d'intérêt consiste à étudier le revêtement universel des variétés projectives : il s'agit d'une variété complexe qui peut être "enrouler" autour de la variété initiale. Il faut penser par exemple à une droite que l'on enroule en spiralant autour d'un cercle. Philip Griffiths (un mathématicien américain) a écrit que l'uniformisation est l'un des procédé les plus profonds et mystérieux de l'analyse complexe... Je suis assez d'accord avec lui ! Là encore le cas des surfaces de Riemann peut illustrer cela : depuis les travaux de Klein, Koebe, Poincaré, Schwarz... on sait que le revêtement universel d'une surface de Riemann est soit une sphère, soit le plan soit un disque. Si écrire les uniformisations dans les deux premiers cas est assez facile, le cas du disque est autrement plus compliqué et il faut bien avoir en tête que l’uniformisation n'est en aucun cas explicite. La situation en dimension 1 n'est donc déjà pas triviale mais en dimension supérieure très peu de choses sont connues. À titre d'exemple : si le revêtement universel d'une variété projective est une variété non compacte (comme le plan ou le disque dans la liste ci-dessus), on ne sait pas s'il porte des fonctions holomorphes non constantes...
Lequel de tes travaux pourrais-tu mettre en avant ?
Dans un travail qui a déjà quelques années (en collaboration avec Andreas Höring et János Kollár), nous nous sommes demandé si le revêtement universel d'une variété projective pouvait être encore une variété algébrique (c'est-à-dire définie par des polynômes comme ci-dessus). Dans le cas de la dimension 1, l'uniformisation de Poincaré-Koebe montre que seul les 2 premiers cas pouvaient arriver. Nous avons montré qu'en dimension supérieure, un énoncé analogue est vrai : le revêtement universel, s'il est algébrique, doit être un produit d'une variété compacte simplement connexe (comme la sphère) et d'un espace affine $\mathbb{C}^d$. Pour être tout à fait exact, l'affirmation que je viens d'énoncer dépend en fait de la validité d'une conjecture qui est l'un des problèmes centraux en géométrie birationnelle (une autre branche de la géométrie algébrique), la conjecture d'abondance. Comme la conjecture d'abondance est connue jusqu'en dimension 3, notre énoncé est donc inconditionnelle en dimension au plus 3.
J'ai choisi ce résultat car il illustre parfaitement ce que j'aime dans ce genre de questions : il nous faut comment la topologie et la géométrie se laissent influencer l'une par l'autre... et réciproquement.
Que représente et que va changer l'IUF pour toi ?
Avant tout, c'est une très belle surprise et un très grand honneur. Je vais prendre un peu de temps pour repenser à des questions qui m'ont occupé l'esprit ces dernières années mais sur lesquelles je n'ai pas pu avancer comme je l'aurais souhaiter. Je pense aussi profiter des moyens alloués par l'IUF pour inviter des collègues extérieurs et organiser des journées thématiques ici à Rennes.
Pour aller plus loin
- L'article de Philip Griffiths cité plus haut : Griffiths, P. A. Complex-analytic properties of certain Zariski open sets on algebraic varieties. Annals of Mathematics, 1971, pp.21-51
- Le site Analysis Situs par le groupe Henri-Paul de St Gervais pour découvrir ou approfondir la topologie algébrique.
- Le livre du même collectif sur l'uniformisation de Poincaré-Koebe.
- L'article de Benoît Claudon et collaborateurs évoqué plus haut : Claudon, B., Höring, A., & Kollár, J. Algebraic varieties with quasi-projective universal cover. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 2013(679), pp.207-221
- Les livres Basic Algebraic Geometry de Igor R. Shafarevich sont une très bonne introduction au domaine de la géométrie algébrique complexe ; le dernier chapitre du deuxième livre contient une question sur le revêtement universel des variétés projectives qui est totalement ouverte et qui a inspiré de nombreux développements de recherche.
