Approximation de certains problèmes de contrôle par différences finies

Dans cet exposé, nous expliquerons certaines difficultés qui peuvent survenir lorsque l'on tente de discrétiser un problème de contrôle, notamment la perte de contrôlabilité uniforme (par rapport au pas de discrétisation), qui empêche de récupérer un contrôle pour le problème continu  en passant à la limite à partir des contrôles pour le problème discret. De manière plus précise, nous considérons un schéma semi-discret aux différences finies pour l'approximation des contrôles au bord d'une équation des ondes 1D, et des contrôle internes pour une équation des ondes fractionnaires 1D. Le problème continu est contrôlable. Cependant, le comportement du spectre discret en haute fréquence entraîne une perte de la propriété de contrôlabilité uniforme pour les problèmes semi-discrétisés. Nous détaillerons comment restaurer la propriété de contrôlabilité uniforme grâce à une méthode de filtrage appropriée sur la condition initiale. La preuve est principalement basée sur la méthode des moments.