Arithméticité et superrigidité de certains ensembles apériodiques en rang supérieur

Les ensembles de Meyer sont des objets fascinants: ce sont des ensembles de points des espaces euclidiens qui sont apériodiques tout en étant régulier “à grande échelle”. Parmi les exemples les plus connus figurent les pavages de Penrose ou les nombres de Pisot-Vijarayaghavan. Meyer, puis Lagarias, ont prouvé plusieurs caractérisations très élégantes de ces ensembles.

La définition la plus succincte des ensembles de Meyer est la suivante: ce sont les sous-groupes approximatifs discrets et co-compacts des espaces euclidiens. Cette définition simple (les groupes approximatifs étant facilement définis) invite à la généralisation. Les cas des espaces vectoriels sur les corps p-adiques et, implicitement, celui du groupe des transformations affines d’une droite avaient été considérés par Meyer, ceux de certains ensembles de matrices par Dani, et Lagarias avait suggéré l’étude des ensembles de Meyer des groupes d’isométries des espaces euclidiens.

Après avoir fait un rapide tour d’horizon des principaux résultats, anciens et récents, je parlerai des apports de certains outils de théorie ergodique à ces questions. Je présenterai une généralisation des théorèmes de Lagarias et Meyer dans les groupes de Lie semi-simples de rang supérieur, conséquence de la superrigidité des cocycles dû à Zimmer.