Biais de Chebychev dans les extensions quaternioniennes de $\mathbb{Q}$

En 1853, Chebyshev conjecture que les nombres premiers de la forme $4n+3$ sont toujours plus nombreux que les nombres premiers de la forme $4n+1$, bien que leur nombres soient équivalents en l'infini. Cette conjecture s'avère fausse, mais contient une part de vrai : il semble y avoir une asymétrie dans la distribution des nombres premiers en faveur de ceux de la forme $4n+3$ par rapport à ceux de la forme $4n+1$. Ce phénomène, appelé biais de Chebyshev, a finalement pu être quantifié et démontré en 1994, dans un papier de Rubinstein et Sarnak qui a démarré l'étude des "courses de nombres premiers". Ceux-ci mettent en évidence un biais extrême en faveur de "l'équipe $3$ mod $4$" contre "l'équipe $1$ mod $4$" : la première est en tête $99,59\%$ du temps. Ces courses peuvent être généralisées en dimensions supérieures, c'est-à-dire dans le contexte des idéaux premiers de corps de nombres. Dans cet exposé j'introduirai ces divers aspects, et présenterai mes résultats récents à propos d'extensions quaternioniennes de $\mathbb{Q}$.