Catégories exactes de modules topologiques et faisceaux quasi-cohérents adiques

Sur un anneau linéairement topologisé complet $k$, on étudie des catégories quasi-abéliennes monoïdales fermées de modules $k$-linéairement topologisés bornés (cas de E.G.A. 0 et des schémas formels) et non-bornés (cas relatif à $k$ quelconque de l'analyse fonctionelle sur un corps non-archimédien $K$, où $k = K^\circ$). La catégorie des modules quasi-cohérents sur le schéma formel Spf k (suivant Gabber-Ramero) n'a pas en général les noyaux. On démontre qu'elle est toutefois exacte, qu'elle a des conoyaux, des images, et assez d'injectifs. C'est la propriété duale de celle considérée par Laumon (LNM 1016), et il y donc moyen de dériver des foncteurs exacts à gauche. On obtient un raffinement topologique de certains résultats algébriques de Gabber-Ramero.

Dans le cas des modules non-nécessairement bornés, nous avons d'abord généralisé la notion d'anneau de Huber et de Tate $R$. En remplaçant le corps $K$ par un anneau de Tate généralisé $R$ et $k$ par un de ses anneaux de définition, nous avons étudié en profondeur  la notion de $K$-vectoriel  bornologique complet utilisée par certains auteurs.  L'application aux espaces adiques analytiques est encore en chantier.