Cercles super-apolloniens et réseaux de l'anneau des entiers de Gauss

L'empilement super-apollonien est constitué des images de la droite projective réelle par les homographies du groupe PSL(2, Z[i]). Etant invariant par translation par les entiers de Gauss, il peut être considéré comme un empilement sur le tore unité.

Dans une première partie, nous mettrons en bijection ces cercles tracés sur le tore avec les réseaux sans diviseur commun non unitaire de l'anneau des entiers de Gauss, que nous appelons réseaux primitifs. L'indice du réseau associé à un cercle étant la demi-courbure de ce cercle, nous nous intéressons aux réseaux primitifs d'indice n donné, qui forment un groupe homéomorphe à la droite projective sur Z/nZ (muni d'une multiplication adéquate). Nous étudions la structure de ce groupe et montrons notamment qu'il est cyclique lorsque $n$ est puissance d'un nombre premier impair. Comme il existe un morphisme surjectif naturel de ce groupe vers le groupe des classes d'idéaux fractionnaires de l'ordre Z+inZ, nous en déduisons que ce groupe de classes est cyclique lorsque n est une puissance d'un nombre premier, 2 compris. Nous sommes hélas incapables à l'heure présente de donner une interprétation géométrique de ce résultat.

Dans une seconde partie, nous développons une caractérisation algorithmique rapide des cercles apolloniens parmi les cercles super-apolloniens à l'aide de l'algorithme de réduction des formes quadratiques binaires entières définies positives. Nous donnons également un algorithme de construction de tous les cercles apolloniens (tracés sur le tore) dont la courbure est plus petite qu'un entier donné.