Champs de Killing univaluées d'une connexion affine méromorphe et applications

Le théorème d'uniformisation de Riemann montre qu'en dimension complexe un, les variétés complexes compactes peuvent être classifiées comme quotients d'un espace modèle équipé d'une structure géométrique, par un sous-groupe discret de symétries de cette structure. Cependant, en dimension supérieure, certains résultats récents (en particulier un résultat de Biswas-Dumitrescu-McKay, 2018) montrent qu'en général l'existence d'une structure géométrique holomorphe sur une variété complexe compacte est très restrictive.

 

 

Dans cet exposé, nous nous interreserons aux cas des connexions affines pour voir que cela reste vrai même en autorisant des singularités (méromorphes). Nous rappellerons comment les symétries infinitésimales de ces dernières (les champs de Killing) donnent des restrictions à l'existence dans le cas holomorphe, argument clé de la preuve du résultat mentionné ci-dessus. Puis nous verrons que dans le cas méromorphe, cet argument ne peut être reproduit, en illustrant avec un exemple de connexion affine méromorphe avec des champs de Killings non univalués.

En utilisant le point de vue de Cartan sur ces structures géométriques, nous donnerons un critère suffisant sur une connexion affine méromorphe pour n'avoir que des champs de Killing univalués, et appliquerons ce résultat pour étendre partiellement celui de Biswas, Dumitrescu et McKay.