Changement de poids dans la cohomologie p-adique de la tour de Drinfeld

D'après les travaux de Colmez, Dospinescu et Niziol, la cohomologie étale $p$-adique de la tour de Drinfeld encode la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$, pour les représentations de poids $(0,1)$, comme la cohomologie étale $\ell$-adique encode la correspondance de Langlands locale. La cohomologie étale $p$-adique a des liens avec la cohomologie proétale et la cohomologie de de Rham qui s'incarnent dans les vecteurs localement analytiques et localement algébriques des représentations de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$. Les représentations algébriques de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ sont particulièrement simples et se décrivent en termes de poids, qui correspondent aux poids de Hodge-Tate coté galoisien. Pour faire apparaitre les différents poids dans la cohomologie étale $p$-adique, il faut la considérer à coefficients dans un système local étale $p$-adique naturel. Ce système local est « isotrivial », et j'expliquerai comment cette observation permet de calculer sa cohomologie pour faire apparaitre les représentations galoisienne de poids entiers quelconques.