Compactifications et volumes des espaces de modules de surfaces plates en genre 0
Pour tout entier naturel $k$, les $k$-différentielles sur une surface de Riemann sont des sections méromorphes de la puissance $k$-ième du fibré canonique de celle-ci. Il est bien connu que les k-différentielles induisent des métriques plates à singularités coniques sur la surface de Riemann.
Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des compactifications particulières, appelées variétés d'incidence, des espaces de modules de $k$-différentielles. Il s'agit des variétés projectives complexes qui ne sont pas encore très bien comprises jusqu'ici.
Il s'avère que en cas de genre $0$, ces variétés peuvent être décrites de façon explicite comme des éclatés des espaces de modules de courbes stables de genre $0$ avec des points marqués. Cette description nous permet d'obtenir une formule récursive pour calculer les volumes des espaces de $k$-différentielles, que l'on peut voir comme des espaces de modules de surfaces plates. Comme application, on retrouve partiellement une formule de Kontsevich pour les volumes des espaces de formes quadratiques en genre $0$, qui a été démontrée par Athreya-Eskin-Zorich par une différente approche. Nous discutons enfin quelques pistes pour généraliser ces constructions aux genres supérieurs.
