Comportement en temps long d'équations de Hamilton-Jacobi stochastiques

Les équations d'Hamilton-Jacobi stochastiques apparaissent naturellement dans un certain nombre de contextes, en particulier dans la formulation par ligne de niveaux de mouvements d'interface, quand ce mouvement est perturbé par un bruit. La dépendance en temps "irrégulière" du membre de droite de ces équations crée un certain nombre de difficultés mathématiques. Elles font partie d'une classe d'équations ("EDPS complètement non-linéaires") introduite par Lions et Souganidis à la fin des années 90 qui ont montré que l'on pouvait étendre les techniques classiques de solutions de viscosité à ce contexte.

Dans cet exposé, après avoir présenté ces équations, je parlerai de divers résultats récents concernant le comportement en temps long de leurs solutions. Certains de ces résultats sont uniquement qualitatifs (convergence vers un équilibre), mais dans certains cas on peut également prouver des résultats quantitatifs sur la vitesse de convergence. On obtient notamment dans le cas du mouvement d'un graphe par courbure moyenne que le terme stochastique accélère la convergence.

Basé sur des travaux en commun avec B. Gess, B. Seeger, P. Souganidis et P.L. Lions.