Concentration-compactness principle applied to the minimization of the Ginzburg-Landau energy

Le principe de concentration-compacité, introduit par Pierre-Louis Lions en 1984 permet de résoudre des problèmes de calcul des variations sur des domaines non-bornés. Nous illustrerons ces méthodes en étudiant le problème de minimisation de l’énergie de Ginzburg-Landau à moment fixé.

Si ce problème était posé sur un domaine borné, alors on obtiendrait immédiatement que de toute suite minimisante, on peut extraire une sous suite convergeant vers un minimiseur par le théorème de Rellich. Le principe de concentration-compacité donne une heuristique pour montrer que cela reste vrai pour le problème sur un domaine non-borné sous réserve d’inégalités de sous-additivité stricte. Avec ce résultat de compacité, nous verrons émerger naturellement les solitons sombres, une famille de solutions particulières d’une équation de Schrödinger non-linéaire.

### English version

The concentration-compactness principle, introduced by Pierre-Louis Lions in 1984, enables to solve problems from the calculus of variation on unbounded domains. We will illustrate these methods by treating the minimization of the Ginzburg-Landau energy at fixed momentum. If this problem was posed on a bounded domain, then we would obtain that from every minimizing sequence we can extract a subsequence converging to a minimizer by Rellich’s theorem. The concentration-compactness principle generalizes this result to unbounded domains when some strict sub-additivity inequalities holds. We will emphasize the link between this compactness result and dark solitons which is a familly of particular solutions to a nonlinear Schrödinger equation.