Distribution des points critiques de polynômes aléatoires

Comparer la répartition des points critiques d'un polynôme avec celle de ses racines est une question ancienne et profonde, dont une illustration élémentaire classique est le théorème de Gauss Lucas. Dans un contexte probabiliste, R. Pemantle et I. Rivin soulèvent dans un article de 2013 la question suivante: si on choisit les racines complexes d'un polynôme $z_1,...,z_n$ aléatoirement de manière indépendante suivant une même loi $\mu$, est-ce que la distribution empirique $\nu_n$ des points critiques du polynôme s'approche de $\mu$ (en loi) lorsque son degré $n$ tend vers l'infini? Z. Kabluchko répond par l'affirmative dans un article de 2015, montrant que nécessairement $\nu_n\to\mu$ en probabilité. En collaboration avec Jürgen Angst et Guillaume Poly, nous complétons ce résultat en montrant que la convergence est en fait presque sûre.