Soit U un ouvert connexe non vide de C et P un opérateur différentiel d'ordre n in N* à coefficients holomorphes sur U : P = \sum_{k=0}^n a_k d^n/dz^n.
On note W l'ouvert de U sur lequel la fonction a_n est inversible. Pour tout disque ouvert D non vide de centre z_0 dans W, l'équation Pu=g admet une solution analytique sur D (unique en fixant les conditions initiales).
On peut se demander s'il existe une solution sur W tout entier.
Ce n'est pas vrai en général : les zéros de la fonction a_n font apparaitre de la monodromie.
Cependant, lorsque $W$ est simplement connexe, l'équation Pu = g a toujours une solution globale holomorphe. Cela résulte d'un théorème de monodromie.
L'étude plus poussée de la monodromie des opérateurs différentiels amène au 21-ème problème de Hilbert : a-ton une correspondance entre les représentations du groupe fondamentale de U et les groupes de monodromie des solutions des opérateurs différentiels ?
Ce problème est entièrement résolu depuis les années 70-85 : il s'agit de la correspondance de Riemann-Hilbert.
Les faisceaux sont un outil nécessaire pour la démontrer en dimension supérieure.
On va reformuler dans cet exposé les énoncés d'existence de solutions de l'équation Pu = g de manière faisceautique.
Pour cela on va introduire le faisceau des fonctions holomorphes sur U.
On démontrera ensuite, lorsque W est simplement connexe, que l'équation Pu = g admet toujours une solution sur W à l'aide des faisceaux.
