Espace des modules des polygones planaires, groupe de pliage, et action sur le premier groupe d'homologie pour les pentagones.

On appelle forme de polygone à $n$ côtés, ou juste polygone, une classe d'équivalence de $n$-tuple de points dans le plan pour la relation de similitude directe. En effet, en reliant ces sommets par segments, on obtient bien une figure géométrique. Nous autorisons les polgones à être dégénerés, i.e., à avoir par exemple des cotés qui se croisent.

Fixons désormais les longueurs des cotés, et autorisons les angles à varier. Nous obtenons une variété de dimension $n-3$ lisse, sauf éventuellement en un nombre fini de points. La topologie de cette variété dépend des longueurs, énoncé que nous préciserons en nous inspirons des travaix de Kapovitch et Millson.

Par ailleurs, on peut définir des involutions dites "de pliage" sur l'espace des pentagone, qui fixent les longueurs. Le groupe généré par ces involutions est infini et pas évident à déterminer, nous en donnons une description explicite grâce à un resultat de Dolgachev récent.

Finalement, nous regardons l'action de ce groupe sur le premier groupe d'homologie pour les surfaces de pentagones, en traitant d'abord le cas equilateral, puis en en déduisant le cas général. S'il reste du temps, nous évoquerons également l'existence d'un plongement isométrique de la surface des pentagones équilatéral dans le plan hyperbolique à l'aide d'un pavage.