Estimation des constantes de structure des algèbres de Lie libres

(Travail en commun avec K. Beauchard et F. Marbach.) Les constantes de structure d’une algèbre, dépendant du choix d'une base, décrivent en quelque sorte sa table de multiplication dans cette base. Soit L une algèbre de Lie libre. Dans le cas d'une large famille de bases de L (les bases de Hall, dont nous présenterons les propriétés) nous expliquerons l’algorithme classique attribué à Schützenberger pour obtenir la décomposition d’un crochet sur la base. Nous verrons comment exploiter la structure d'arbre des éléments de L pour estimer la complexité de cet algorithme et en déduire des bornes universelles sur les constantes de structure. Nous présenterons aussi des estimations plus précises pour les exemples de bases de Hall les plus classiques (base de Lyndon, bases « longueur-compatibles »). Si le temps le permet, nous verrons comment ces estimations permettent d’obtenir la convergence de séries solutions d’équations différentielles formelles intervenant en théorie du contrôle.