Étude de la contrôlabilité d’une équation de Schrödinger bilinéaire au moyen d’un développement de la solution autour d’un état d’équilibre

Dans cet exposé, on s’intéresse à la notion de contrôlabilité au voisinage d’un équilibre pour un système non linéaire : partant d’un état initial proche de l’équilibre, peut-on en exerçant un contrôle approprié, ramener l’état à l’équilibre ?

Souvent, pour prouver de tels résultats, on s’intéresse d’abord à la contrôlabilité de l’équation linéarisée autour de l’état d’équilibre. En effet, si l’équation linéarisée est contrôlable, par un théorème de point fixe, on peut espérer prouver la contrôlabilité locale de l’équation non linéaire.

On s’intéresse ici à des situations où la théorie linéarisée ne permet pas de conclure. On se demande alors si les termes suivants du développement de la solution autour de l’état d’équilibre permettent de récupérer de la contrôlabilité ou non. Plus précisément, l’objectif est de développer, au travers de l’étude de l’équation de Schrödinger, des méthodes dédiées à ces termes non linéaires pour démontrer ou bien des résultats positifs ou bien des obstructions à la contrôlabilité.