Exploiter une dualité entre les structures hyperboliques complexes et les structures projectives réelles

Soit $M$ une variété (réelle-)hyperbolique fermé. Un résultat classique dû à Bourdon entraine que pour toute action convexe co-compact du $\pi_1M$ dans l'espace hyperbolique-complexe, la dimension de Hausdorff de son ensemble limite est minorée par $n-1$, avec égalité uniquement lorsque l'action laisse invariante une copie totalement géodésique de l'espace hyperbolique réel. Dans cette exposé on regardera une version infinitésimale de cet énoncé, portant sur la deuxième variation de la dimension de Hausdorff de l'ensemble limite, pour des déformations de cette dernière action.

Notre calcul se base sur une étude de l'espace des structures projectives réelles sur $M$ et d'une métrique naturelle, dite de Pression, qu'il porte.

C'est un travail en collaboration avec M. Bridgeman, B. Pozzetti et A. Wienhard.