Exposants de Lyapunov et représentations de groupes de surfaces.

Pour une surface à courbure négative, considérons une représentation de son groupe fondamental dans un groupe de matrices, ou en d'autres termes un fibré plat au dessus de cette surface. Sous certaines hypothèses d'intégrabilité, on peut associer à ces objets des exposants de Lyapunov ainsi qu'une décomposition en drapeaux des fibres qui décriront la dynamique des vecteurs du fibré vectoriel transportés le long de géodésiques de la surfaces. Cette décomposition est parfois appelée dans ce contexte variations de structures de Hodge dynamique. Des résultats récents montrent en fait un lien étroit entre cette décomposition du fibré plat et ses sous fibrés holomorphes.

J'expliquerai ce lien, et considérai le cas des fibrés induits par les équations différentielles hypergéométriques. Enfin je parlerai d'un travail en cours avec S. Filip sur l'étude d'exemples particuliers mis en évidence par le calcul d'exposants de Lyapunov, et dont les groupes de monodromie apporteraient de nouveaux exemples de sous groupes discrets ou fins de groupes de Lie.