Factorisation locale et valuations augmentées

Soit $(K, v)$ corps valué et $P$ un polynome de $K[x]$. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la factorisation de $P$ au-dessus de l'henselisé de $(K, v)$.

Pour simplifier, nous supposerons pour cette exposé que v est une valuation de rang 1 (non nécessairement discrète). La factorisation de $P$ sera obtenue grâce à deux "dissections" principales :

1) le calcul de polygones de Newton généralisés, calculés à l'aide de valuations augmentées.

2) la factorisation de polynômes "univariés" (associés à une pente du précédent polygone de Newton) au-dessus de certains corps résiduels.

Nous décrirons sommairement ces outils avant de décrire l'algorithme global (une variante de l'algorithme de Nart-Montes), pour lequel nous généraliserons le lemme de Hensel au cadre des valuations augmentées. Enfin, nous présenterons une stratégie additionnelle de type "diviser pour régner".

Ces travaux sont issus d'une collaboration avec Martin Weimann, ainsi que d'un article co-écrit avec Maria Alberich-Carramiñana, Jordi Guàrdia, Enric Nart et Joaquim Roé.