Inégalités spectrales pour des combinaisons finies de fonctions d'Hermite et contrôlabilité à zéros d'équations régularisantes dans des espaces de Gelfand-Shilov.

Nous nous intéresserons dans cet exposé à la contrôlabilité à zéro d'équations d'évolution possédant des propriétés régularisantes. Plus précisément, pour un système d'évolution donné avec un contrôle localisé, nous cherchons des conditions géométriques nécessaires et suffisantes sur l'ensemble de contrôle pour assurer la contrôlabilité à zéro de l'équation considérée. Il a été montré récemment que l'équation de la chaleur est contrôlable à zéro à partir d'une partie de \(\mathbb{R}^n\) si et seulement si cette partie vérifie la condition d'être épais. On s'attend néanmoins, pour des équations qui régularisent plus fortement que l'équation de la chaleur, telle que l'équation de la chaleur harmonique, à ce que cette condition soit suffisante mais non nécessaire. Le caractère suffisant de cette condition pour le cas de la chaleur harmonique a été récemment démontré par K. Beauchard, P. Jaming et K. Pravda-Starov en établissant des inégalités spectrales pour des combinaisons finies de fonctions d'Hermite. Dans cet exposé, je présenterai de nouvelles inégalités spectrales pour des combinaisons finies de fonctions d'Hermite sur des ensembles épais par rapport à une densité admettant une croissance quasi-linéaire. Par le biais de ces inégalités, nous déduirons le caractère non nécessaire de la condition d'être épais par rapport à une densité fixe, pour la contrôlabilité à zéro de l'équation de la chaleur harmonique. Plus généralement, étant donnée une équation d'évolution associée à un opérateur possédant de fortes propriétés régularisantes (régularité de type Gelfand-Shilov), nous donnerons des conditions suffisantes sur l'ensemble de contrôle pour assurer la contrôlabilité à zéro de l'équation. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Karel Pravda-Starov.