La formule de Matsushima exprime la cohomologie de De Rham d'un
espace localement symétrique compact $\Gamma\setminus G/K$ en fonction de la
décomposition en irréductibles de la représentation unitaire $G \to
U(\mathrm{L}^2(\Gamma\setminus G))$. Je décrirai ces notions, ainsi que la théorie de
la cohomologie des algèbres de Lie. Comme motivation et exemple d'application,
je donnerai un théorème de Kazhdan sur l'existence de 1-formes holomorphes sur
certains quotients compacts de l'espace hyperbolique complexe. Enfin si le
temps le permet, je raconterai la preuve de cette formule.
