La mesure de Gibbs pour NLS à faible dispersion

Dans l'étude macroscopique des solutions de l'équation dispersive, on cherche souvent des mesures invariantes associées aux lois de conservation. L'existence d'une telle mesure nous permet d'obtenir de l'information sur le comportement en grand temps des solutions. Les problèmes mathématiques consistent à construire la mesure et résoudre l'équation dans le support de la mesure. Dans cet exposé, motivé par tester l'effet de dispersion sur la construction de la mesure invariante, on considère l'équation de Schrödinger fractionnaire (non linéaire) sur le cercle avec données initiales distribuées selon la mesure de Gibbs. Lorsque la dispersion est faible, la difficulté majeure est de construire la solution globale sur le support de la mesure de Gibbs. Je vais expliquer et comparer deux méthodes de la construction. La construction de la solution faible est basé sur l'approximation Galerkine, alors que la solution forte est obtenu comme la limite naturelle d'une suite de solutions régulières de l'équation originale. Cet exposé est basé sur les travaux en collaboration avec Nikolay Tzvetkov.