Les inégalités de Horn du point de vue géométrique

L’étude des relations entre les valeurs propres de deux matrices hermitiennes et les valeurs propres de la somme de ces deux matrices est un problème classique apparaissant par exemple en physique ou en analyse numérique. Au début du XXe siècle, H. Weyl fut le premier à exhiber certaines inégalités permettant de caractériser les familles de valeurs propres issues de ce problème et, en 1962, A. Horn émit l’hypothèse que l’ensemble de ces relations admettait une description récursive. Cette conjecture fut prouvée à la fin du XXe siècle par A. Klyachko, A. Knutson et T. Tao. Quelques années plus tard, P. Belkale proposa une autre preuve de ces résultats, utilisant notamment le calcul de Schubert. Je présenterai quelques exemples de telles relations, les outils principaux du calcul de Schubert et l’idée de la preuve donnée par P. Belkale.