Les points critiques de la percolation de Bernoulli coïncident : une preuve par couplages

Considérons le modèle de percolation de Bernoulli sur Z^d. Le point critique est l'inf des paramètres auxquels le cluster de 0 est infini avec proba non nulle. Il est utile de considérer un autre point critique, inférieur ou égal au précédent, qui est l'inf des paramètres auxquels l'espérance du cluster de 0 est infinie. De nombreux outils ont été développés en-dessous ce deuxième point critique. Une des questions historiques en percolation était donc : ces deux points critiques sont-ils égaux ? Menshikov (86), et indépendamment Aizenman et Barsky (87), ont démontré que c'était le cas. Autrement dit, diminuer le paramètre en percolation de Bernoulli a un effet régularisateur : si on se place à un paramètre auquel le cluster de 0 est fini p.s. et qu'on décroît le paramètre (de n'importe quelle valeur strictement positive !), alors on obtient un système dans lequel ce cluster a même un premier moment. Le but de cet exposé est de donner une nouvelle preuve de ce théorème qui, contrairement aux autres preuves, ne se repose pas sur des inégalités différentielles, mais sur des techniques couplages. J'aimerais conclure ce résumé en disant que cet exposé ne sera pas seulement inspiré de mon travail (cf arXiv:2201.08223), mais aussi d'un récent travail de Philip Easo (cf arXiv:2208.09501) où il améliore ces techniques de couplage.