Marches aléatoires et isométries contractantes dans des espaces CAT(0)

Soit $G$ un groupe et $\mu$ une mesure de probabilité sur ce groupe, on peut générer des éléments $(g_n)$ indépendants et identiquement distribués selon $\mu$. La marche aléatoire engendrée par $\mu $ est alors donnée par le produit $Z_n = g_1g_2...g_n$. Lorsque $G$ agit par isométries sur un espace $X$, on souhaite étudier les comportements asymptotiques de $(Z_n o)$, où $o$ est un point de $X$. Par exemple, on cherche à savoir si la marche aléatoire adopte des trajectoires privilégiées (convergence vers le bord visuel de $X$) et quelle est sa vitesse de fuite (loi des grands nombres). De tels comportements sont en général bien compris lorsque l'espace $X$ dispose de bonnes propriétés hyperboliques. Dans l'exposé, on étudiera cette marche aléatoire lorsque l'espace $X$ est un espace CAT(0), c'est-à-dire de courbure négative ou nulle en un sens généralisé, et où les propriétés hyperboliques sont apportées par l'existence d'éléments contractants dans le groupe. Dans ce contexte, on montrera que de nombreuses lois limites peuvent être prouvées, notamment la convergence vers le bord de la marche aléatoire, la positivité de sa dérive et un théorème de la limite centrale.