Opérateurs pseudo-differentiels discrets et applications aux schémas numériques

On définit une classe d’opérateurs matriciels agissant sur des suites infinies ou périodiques, et reproduisant les propriétés classiques d’opérateurs pseudo-differentiels. En particulier on peut définir la notion d’ordre, de régularité et surtout obtenir la propriété fondamentale que le commutateur de deux opérateurs gagne un ordre de régularité. On montre que ces classes peuvent être étendues très naturellement à des schémas aux différences finies ou spectraux, et on en profite pour revisiter des estimations de convergence classiques pour des méthodes de splitting. Enfin on donne un exemple d’application en construisant des préconditionneurs permettant d’obtenir des schémas convergeant sans perte de régularité. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Benoît Grébert de l’université de Nantes, inscrivant ainsi pleinement cet exposé dans le cadre du labex Lebesgue !