Pendules et principe variationnel

L’équation de Hamilton-Jacobi $\partial_tu+ H(x,d_xu)=0$ est une équation associée à une transformation du hamiltonien dans l’espace des phases $T*M$ et qui permet de simplifier la résolution des équations du mouvement. Le cas d’application le plus simple est celui du pendule où $H(x,p) = \frac{1}{2}p^2 + \cos(2\pi x)-1$. Dans ce cas convexe en $p$, la dynamique est régie par un principe variationnel de la forme $\mathcal{T}^tu(x) = \inf \{ A_H(\gamma) \; | \; \gamma: [0,t] \to M, \; \gamma(t)=x \}$ où $A_H(\gamma)$ est une certaine action. On propose d’étudier la dynamique de ce semi-groupe dans le cas de différents pendules et de décrire et dessiner ses limites possibles.