Polarisations de Liouville et leurs squelettes Lagrangiens.
La partie affine d'une variété projective se rétracte sur un sous-ensemble de dimension moitié, totalement réel. Le sujet de l’exposé est un analogue en géométrie symplectique. Dans le cadre le plus simple des variétés symplectiques fermées avec classes symplectique rationnelle, la notion de polarisation symplectique, qui généralise celle de diviseur à l’infini a été introduite par Biran. Ce dernier a aussi montré que la partie affine de la variété symplectique, c’est-à-dire le complémentaire de cette polarisation est une variété de Liouville qui se rétracte sur un squelette isotrope. Biran a également montré que ce squelette isotrope possède des propriétés de rigidité symplectique fortes. De façon informelle, Biran montre que plus le degré de la polarisation augmente, plus la géométrie symplectique se concentre autour du squelette associé. J’ai montré plus tard comment étendre la notion de polarisation à toute variété symplectique, et comment les utiliser dans les problèmes de plongements.
Dans cet exposé, je vais définir une notion de polarisation pour les variétés de Liouville, et comment ces polarisations impliquent des résultats de plongements symplectiques étonnants. Ces nouveaux plongements donnent un nouvel éclairage à la rigidité symplectique des squelettes Lagrangiens observée par Biran, qui permet d'aller au-delà des résultats initiaux de Biran. Ces résultats amènent également à des résultats de rigidité pour certaines sous-variétés Legendriennes en géométrie de contact. Travail en cours et en collaboration avec Felix Schlenk.
