Pré-feuilletages de co-degré 1 sur P^2(C) ayant une transformée de Legendre plate

Un pré-feuilletage $\mathscr{F}=\ell\boxtimes\mathcal{F}$ de co-degré $1$ et de degré $d$ sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ est la donnée d'une droite $\ell$ de $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ et d'un feuilletage holomorphe $\mathcal{F}$ sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ de degré $d-1.$ Dans cet exposé, je présenterai les principaux résultats d'un article récent sur les pré-feuilletages de co-degré $1$ sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ ayant une transformée de Legendre (tissu dual) plate, cf. arXiv:2309.12837. Dans un premier temps, j'expliquerai les grandes lignes de la démonstration du résultat qui affirme que le $d$-tissu dual d'un pré-feuilletage convexe réduit de co-degré $1$ et de degré $d\geq3$ sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ est plat. Dans un second temps, je donnerai une description des pré-feuilletages de co-degré $1$ et de degré $3$ sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ dont le feuilletage associé est à singularités non-dégénérées et dont le $3$-tissu dual est plat.