Propriété de Northcott dans la famille quadratique

Sur un corps de nombres (une extension algébrique de degré fini de $\mathbb{Q}$), la propriété de Northcott dit qu'il n'y a qu'un nombre fini de points de petite hauteur (c'est-à dire de points dont la complexité arithmétique est petite). Ce résultat permet par exemple de montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de points rationnels périodiques pour une application rationnelle définie sur $\mathbb{Q}$.

Sur un corps de fonctions (par exemple le corps des fonctions rationnelles sur $\mathbb{C}$), la question est plus délicate mais le même résultat reste vrai: il n'y a qu'un nombre fini de points périodiques. Je compte expliquer pendant l'exposé la stratégie que nous avons avec Gauthier pour prouver ce résultat dans la famille quadratique $z^2+c$ (où il est initialement dû à Benedetto) en détaillant les différentes notions de hauteurs.