Schéma numériques uniformément précis en tout temps pour une classe de problèmes diffusifs

Lors de la simulation de systèmes à relaxation rapide, la phase transitoire pose problème puisque les méthodes numériques usuelles ne sont pas friandes de variations rapides (aussi appelées raideur). Afin de remédier à ces limitations, on effectue des nouveaux développements asymptotiques basés sur des méthodes de moyennisation, obtenant ainsi un système sans raideur. Contrairement à certains modèles asymptotiques, cette approximation approche aussi la phase transitoire. En étudiant le défaut (de modèle), on voit qu'on peut le calculer numériquement sans problème. En calculant à la fois le modèle approché et le défaut, on obtient une approximation indépendante de la raideur de la solution au problème initial. Pour finir, on applique ces résultats à deux systèmes hyperboliques avec ou sans non-linéarité.

Au cours de cet exposé, je présenterai en détails notre démarche pour obtenir le modèle asymptotique, ainsi que les limitations que cette approche présente lors de l'étude d'EDP (et comment les dépasser dans une certaine mesure). Je m'efforcerai aussi de ne pas "parachuter" les méthodes numériques qu'on utilise, qu'il s'agisse de schémas en espace ou en temps, espérant ainsi fournir ou rappeler quelques outils de base pour la résolution numérique d'EDO et d'EDP.