Comportement ergodique d'un processus déterministe par morceaux structuré en taille et en âge
On veut étudier la distribution de la taille des cellules à l'état stationnaire d'une population de bactéries, en intégrant des données recueillies à l'échelle individuelle. Dans ce but, on propose un modèle stochastique individu-centré qui peut être calibré en utilisant des données temporelles de lignées de cellules individuelles acquises par des techniques de microfluidique. Ces données offrent accès également à la structure d'âge, qui peut alors être utilisée pour fournir une caractérisation non-markovienne plus précise de la croissance des individus. Plus généralement, ce modèle nous conduit à l'étude du comportement en temps long d'un processus stochastique à valeur mesure non conservatif, déterministe par morceaux, et avec support sur R^2 (taille + âge). Ce processus est dirigé par un flot déterministe entre des temps de saut aléatoires, avec un noyau de transition qui a une forme dégénérée. Je donnerai quelques idées sur la façon d'obtenir l'ergodicité exponentielle d'un tel processus à partir d'une approche probabiliste, en utilisant le théorème de Harris et les propriétés spectrales du générateur infinitésimal du processus. En particulier, la construction de trajectoires explicites qui explorent l'espace d'états avec probabilité positive nous permet de prouver une condition dite de "petite set" pour les ensembles compacts, qui se trouve être une des conditions suffisantes pour l'ergodicité exponentielle. On finira par une application à un processus de croissance-fragmentation structuré en âge modélisant la prolifération d'une population d'E. coli sous traitement antibiotique.
Ergodic behaviour of an age-size piecewise deterministic process
We aim to study the steady-state cell size distribution of a bacterial population, integrating information collected at the individual scale. To that extent, we propose a stochastic individual-based dynamic model which can be calibrated using temporal single-cell lineage data acquired via microfluidic techniques. This data also grants access to the age structure, which then can be used to to provide a more precise non-Markovian characterisation of the growing population. More generally, this model leads us to the study of the long-time behaviour of a non conservative piecewise deterministic measure-valued stochastic process with support on R^2. The process is driven by a deterministic flow between random jump times, with a transition kernel which has a degenerate form. I will give some ideas on how to obtain the exponential ergodicity of such a process from a probabilistic approach, using Harris’ Theorem and the spectral properties of the infinitesimal generator of the process. In particular, the construction of explicit trajectories which explore the space state with positive probability permits us to prove a so-called petite-set condition for the compact sets of the state space, which happens to be one sufficient condition for the exponential ergodicity. An application to an age-structured growth-fragmentation process modelling bacterial growth will be shown.
