Stabilité du théorème de Bakry-Emery et méthode de Stein

Le théorème de Bakry-Emery nous dit que pour des mesures uniformément log-concaves, certaines inégalités fonctionnelles (inégalité de Poincaré, inégalité de Sobolev logarithmique) sont vérifiées avec des constantes meilleures que celles associées à la mesure Gaussienne. Je montrerai comment on peut combiner la méthode de Stein et des arguments simples issus du calcul des variations pour obtenir des estimées de stabilité pour ce problème : si les constantes optimales sont proches de celle pour la gaussienne, alors la mesure est proche d'être une mesure produit, avec un facteur gaussien. Travail en collaboration avec Thomas Courtade (UC Berkeley).