Stabilité par conjugaison dans les sous-groupes paraboliques des groupes d'Artin de type sphérique

Soit $G$ un groupe et $H < G$. On dit que $H$ est stable par conjugaison dans $G$ si la condition suivante est satisfaite, pour tout $a,b\in H$:
$$ \ \exists\ c\in G,\ c^{-1}ac=b \Longrightarrow \exists c'\in H,\ {c'}^{-1}ac'=b.$$
Soit $A$ un groupe d'Artin engendré par un ensemble standard de générateurs $\Sigma$. Un sous-groupe parabolique standard $A_X$ est un sous-groupe engendré par $X\subseteq \Sigma$. On dit que $A_X$ est irréductible si'il ne peut pas être décomposé en produit direct de sous-groupes paraboliques standard. Par définition, un sous-groupe parabolique (irréductible) est un conjugué d'un sous-groupe parabolique standard (irréductible).

Dans cet exposé on va voir que la plupart des sous-groupes paraboliques irréductibles des groupes d'Artin de type sphérique sont stables par conjugaison, et on donne une liste des cas ou ils ne le sont pas. Cela répond à une question d'Ivan Marin et généralise un théorème de Juan González-Meneses fait pour le cas spécifique des tresses. On montre aussi que la plupart des sous-groupes paraboliques réductible ne sont pas stables par conjugaison. (Travail avec Matthieu Calvez et Bruno Cisneros de la Cruz.)