Sur des manières de compter des graphes dans des variétés

Dans le cadre du colloquium de l'IRMAR, Christine Lescop (Institut Fourier) interviendra mercredi 20 mars à 12h30 dans l'amphi Lebesgue.

Résumé : On expliquera comment compter des configurations de graphes dans des variétés pour obtenir des invariants topologiques intéressants.
On commencera par visiter et réinterpréter la définition de Gauss de 1833 du nombre d'enlacement de deux nœuds dans l'espace ambiant.
Puis on généralisera cette réinterprétation pour obtenir un invariant de variétés de dimension trois (l'invariant de Casson) en comptant des graphes theta (avec deux sommets trivalents et trois arêtes qui les joignent) dans ces variétés.
Notre généralisation est inspirée de travaux de Kontsevich, Kuperberg et Thurston des années 90.
En 2018, Watanabe a construit un fibré lisse non trivial en sphères $S^4$ de dimension 4 au-dessus de la sphère $S^2$ de dimension 2 topologiquement équivalent au fibré trivial, produit de $S^2$ par $S^4$.
Il a démontré que son fibré n'était pas différentiablement équivalent au fibré trivial grâce à un invariant qui compte des graphes complets à quatre sommets dans des fibrés au-dessus de $S^2$.
On terminera l'exposé en esquissant cette construction de Watanabe qui réfute une conjecture souvent appelée conjecture de Smale en dimension 4.