Sur la conjecture d’Hofer-Zehnder dans les espaces projectifs à poids

La conjecture d’Hofer-Zehnder affirme que le nombre de points périodiques d’un difféomorphisme hamiltonien est ou bien infini ou bien donné par le nombre minimal de points fixes estimé par la conjecture d’Arnold. Dans le cas de l’espace projectif complexe $\mathbb{CP}^d$, cela signifie que le nombre de points périodiques d’un difféomorphisme hamiltonien est ou bien infini ou bien $d + 1$. Une forme homologique de cette conjecture démontrée par Shelukhin en 2019 montre, en particulier, qu’un difféomorphisme hamiltonien de $\mathbb{CP}^d$ ayant strictement plus de $d+1$ points périodiques non-dégénérés possède une infinité de points périodiques. Dans cet exposé, nous présenterons une généralisation du résultat de Shelukhin aux projectifs à poids qui sont des orbifolds symplectiques.