Sur la rigidité locale des actions abéliennes affines sur le tore

Deux manifestations de rigidité locale des actions de rang supérieur sont la rigidité au sens KAM (lorsqu'un invariant de conjugaison est fixé satisfaisant une condition arithmétique de mesure totale) des paires de rotations simultanément  diophantiennes du tore (Moser), et la rigidité locale des actions abéliennes partiellement hyperboliques sur le tore (Damjanovic et Katok).

Pour compléter l'étude de la rigidité locale des actions abéliennes affines sur le tore, il faut adresser le cas le plus délicat des actions paraboliques, c'est-à-dire lorsque les parties linéaires des générateurs de l'action sont données par des matrices unipotentes.  On montre avec D. Damjanovic et M. Saprykina que ces actions sont KAM-rigides si un élément de l'action au moins est d'ordre 2 (i.e. $(A-Id)^2=0$). Avec S. Durham on donne des exemples montrant que la rigidité KAM n'est pas toujours vérifiée dans le cas des actions d'ordre supérieur.

L'outil principal dans l'étude de rigidité dans le cas parabolique est une version parabolique de la "higher rank trick" qui est une pièce angulaire dans les résultats de rigidité des actions de rang supérieur hyperboliques, partiellement hyperboliques ou non uniformément hyperboliques.