L'objet de cet exposé est de comprendre les surfaces réglées sur une courbe elliptique et plus particulièrement celles issues de la projectivisation d'un faisceau localement libre de rang 2 sur $C$ et indécomposables . Après avoir défini la notion de surface réglée en général, nous verrons dans un premier temps le lien fort unissant faisceaux localement libre de rang 2 sur une courbe et surfaces réglées.
Plus précisément si $X$ est une surface réglée sur $C$, il existe un faisceau localement libre de rang 2 noté $\mathcal{E}$ tel que $X=\mathbb{P}(\mathcal{E})$.
Nous verrons alors que l'on peut choisir $\mathcal{E}$ de telle sorte que $e:= -deg\ \mathcal{E}$ soit un invariant de $X$, (on dit alors que le faisceau $\mathcal{E}$ est normalisé) et l'on peut alors, dans le cas où le faisceau est indécomposable, trouver un encadrement : $-2g \leq e \leq 2g-2$, Dans le cas $g=1$, on étudiera, si le temps le permet, les trois cas : $e=0$, $e=-1$ et $e=-2$. La plupart des résultats sont issus du chapitre "Ruled Surfaces" de Hartshorne (Algebraic geometry).
