Symbole de Hilbert et conjecture standard de type Hodge

La conjecture standard de type Hodge prédit la signature du produit d'intersection de classes algébriques sur une variété projective et lisse. Dans un travail récent en collaboration avec Giuseppe Ancona nous avons montré que le discriminant et le symbole de Hilbert du produit d'intersection coïncident avec ceux prévus par la conjecture pour les variétés sur un corps fini admettant une structure CM, notamment pour les variétés abéliennes et pour les produits de variétés K3. Le discriminant est calculé par des méthodes $\ell$-adiques, pour $\ell$ premier différent de la caractéristique $p>0$ du corps de base. Par contre, la détermination du symbole de Hilbert en général demande une étude plus fine mêlant la théorie de Hodge $p$-adique et la théorie de corps de classe local. Dans cet exposé j'introduirai le sujet, puis j'expliquerai les grandes lignes de la preuve.