Système dynamique discret et combinatoire des mots pour les nombres de Markoff

Dans une première partie, nous introduisons les nombres de Markoff qui sont des entiers fascinants liés à la théorie des nombres, les équations diophantiennes, la géométrie hyperbolique, les fractions continues et les mots de Christoffel. De nombreux grands mathématiciens ont travaillé sur ces nombres et la conjecture d'unicité de Frobenius, vieille de 100 ans, n'est toujours pas résolue. Nous présentons une nouvelle formule pour calculer les nombres de Markoff en utilisant la fermeture palindromique itérée et la substitution de Thue-Morse. Le théorème principal montre que pour chaque nombre de Markoff $m$, il existe un mot $v ∈ \{a, b\}^∗$ tel que $m - 2$ est égal à la longueur de la fermeture palindromique itérée de la fermeture antipalindromique itérée du mot $v$. Ce travail donne une construction récursive des nombres de Markoff par les longueurs des mots générés par un système dynamique discret. Voir l'article C. Reutenauer and L. Vuillon, Palindromic Closures and Thue-Morse Substitution for Markoff Numbers, Uniform Distribution Theory 12(2), (2017),25–35.

Dans une seconde partie, nous montrons de nouveaux résultats sur les nombres de Markoff en utilisant des généralisations des fractions de Farey et des mots de Christoffel. En particulier, nous étudions une valuation des chemins sur la grille $\mathbb{N}^2$ liée aux nombres de Markoff. Nous démontrons deux conjectures de du célèbre livre d'Aigner en préservant la monotonicité de cette valuation sur une séquence de chemins en étudiant la dynamique des transformations locales des chemins. Voir l'article C. Lagisquet, E. Pelantová, S. Tavenas and L. Vuillon "On the Markov numbers : fixed numerator, denominator, and sum conjectures". Advances in Applied Mathematics, 130, 102227, (2021).