Théorèmes de la limite locale dans les groupes relativement hyperboliques
Étant donné une marche aléatoire dans un groupe de type fini, on note $p_n$ la probabilité que la marche soit revenue à l'origine en temps $n$. Le problème de la limite locale consiste à trouver des asymptotiques de $p_n$. Dans plusieurs situations, on a un équivalent de $p_n$ de la forme $CR^{-n}n^a$. L'exposant $a$ est appelé exposant critique de la marche aléatoire. Une ancienne conjecture de Gerl prédisait que dans ce cas, $a$ devait être un invariant du groupe. Cette conjecture a été réfutée par Cartwright qui a donné des exemples de différentes marches aléatoires dans un même groupe avec des exposants critiques distincts. Les groupes de Cartwright sont des produits libres. De manière générale, les groupes relativement hyperboliques, que l'on peut considérer comme des généralisations géométriques des produits libres, fournissent des exemples variés de théorèmes de la limite locale. De manière simplifiée, il y a une compétition entre la structure géométrique sous-jacente du groupe et le poids donné aux sous-groupes paraboliques par la marche aléatoire.
Le but de l'exposé est de présenter les différentes situations que l'on peut rencontrer et les théorèmes de la limite locale qui en découlent. Lorsque les sous-groupes paraboliques sont virtuellement abéliens, on obtient une classification complète de tous les comportements possibles pour $p_n$. On fera au passage des analogies avec les théorèmes de comptage des géodésiques dans les groupes fondamentaux de variétés hyperboliques géométriquement finies, où la même compétition entre la structure hyperbolique et le poids des sous-groupes paraboliques apparaît. On présentera essentiellement trois cas : celui où la marche aléatoire est spectralement non-dégénérée, celui où elle est spectralement positive récurrente et celui où elle est convergente.
Les méthodes pour prouver des théorèmes de la limite locale dans ces différentes situations sont différentes et font appel à plusieurs branches des mathématiques qu'il sera difficile de préciser exhaustivement. Après avoir présenté les stratégies globales des preuves, on se concentrera si le temps le permet sur le cas spectralement non-dégénéré où un des outils principaux est le formalisme thermodynamique.
