Théorèmes limites pour un processus de branchement multi-type dans un environnement aléatoire en régime surcritique

Dans cet exposé, je vais m'intéresser au comportement asymptotique d'un processus aléatoire particulier que l'on appelle processus de branchement multi-type dans un environnement aléatoire (PBMEA). Les processus de branchements ont un très large spectre d'applications dans beaucoup de domaines, notamment en biologie pour la modélisation de l'évolution d'une population. L'introduction d'un environnement aléatoire par Smith et Wilkinson (1969) a généralisé le modèle initialement établi de Galton et Watson, et a permis une grande avancée dans la théorie des processus de branchements. Énormément de résultats ont déjà été démontrés pour le cas d'un processus de branchement unitype en environnement aléatoire, mais leurs généralisations pour le PBMEA restent inexistantes pour une grande majorité d'entre eux. Le principal objectif de mon exposé sera d'établir une généralisation du célèbre théorème de Kesten-Stigum pour le PBMEA qui, en régime surcritique, nous dit exactement quand le processus de branchement explose vers l'infini avec une vitesse exponentielle. Cette étude nécessite l'introduction de ce que j'appellerai la martingale fondamentale associée au PBMEA, l'objet clé de la démonstration du théorème de Kesten-Stigum. La construction de cette martingale est basée sur plusieurs propriétés asymptotiques des produits de matrices aléatoires que j'énoncerai.