La théorie des faisceaux est trop locale pour traiter les espaces usuels de l’analyse. Sur une variété analytique réelle M, on définit une topologie de Grothendieck en se restreignant aux ouverts relativement compacts sous-analytiques et aux recouvrements finis. C’est la topologie sous-analytique introduite avec Masaki Kashiwara dans [KS01]. Avec cette topologie, les préfaisceaux des fonctions $C^\infty$ tempérées ou des distributions tempérées sont des faisceaux et dans le domaine complexe le faisceau (au sens dérivé) des fonctions holomorphes à croissance tempérée est bien défini. Mais le préfaisceau des espaces de Sobolev d’un ordre donné n’est pas un faisceau. Avec Stéphane Guillermou, nous avons introduit la topologie sous-analytique linéaire qui permet de contrôler un certain type de croissance et Gilles Lebeau a utilisé ces résultats pour construire le faisceau (au sens dérivé) des espaces de Sobolev d’ordre s ≤ 0. Sur un ouvert U à frontière Lipschitz, le complexe des sections de cet objet est concentré en degré 0 et coïncide avec l’espace de Sobolev classique (cf [GLP+16]).
Références
[GLP+16] Stéphane Guillermou, Gilles Lebeau, Adam Parusinski, Pierre Schapira, and Jean-Pierre Schneiders, Subanalytic sheaves and Sobolev spaces, Vol. 234, Soc. Math. France, 2016. xvi+120 pp.
[KS01] Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Ind-Sheaves, Astérisque, vol. 271, Soc. Math. France, 2001. vi+136 pp.
