Transport optimal pour les processus ponctuels et inégalités fonctionnelles pour les processus de Poisson

Nous définissons une distance "riemannienne" sur l'espace des processus ponctuels. Notre définition est inspirée de la formulation dynamique de la distance de transport optimal sur R^d de Benamou & Brenier. Nous montrons que, équipé de cette distance et de la mesure de Poisson, l'espace des processus ponctuels satisfait une version non locale et infinie dimensionnelle du critère de courbure de Lott-Sturm-Villani. En particulier nous avons que:
*) le semigroupe de Poisson-Ornstein-Uhlenbeck est le flow gradient de l'entropie relative;
*) l'espace de Poisson à une courbure de Ricci minorée, au sens entropique, par 1;
*) notre distance satisfait une inégalité de type HWI.

L'exposé sera l'occasion de faire une introduction à mon domaine de recherche et je me concentrerai avant tout sur les motivations et l'intuition plutôt que les détails techniques.

Basé sur un travail avec L. Dello Schiavo et K. Suzuki.