Une borne sur le nombre de points rationnels d'une courbe sur une surface de P3 sur un corps fini

Le nombre de points rationnels d'une courbe C projective lisse absolument irréductible de genre g définie sur le corps fini Fq est borné par la célèbre borne de Serre--Weil. Cette borne a été étendue aux courbes singulières par Aubry et Perret. Dans leur ouvrage fondamental de 1986, Stöhr et Voloch ont introduit les ordres de Frobenius d'une courbe projective et les ont utilisés pour donner une borne supérieure sur le nombre de points rationnels de la courbe. Près de 30 ans plus tard, Homma a prouvé que le nombre de Fq-points sur une courbe non dégénérée de degré delta plongée dans P^n, avec n>2, est borné par q(delta-1)+1. Tous ces résultats améliorent la borne originale de Serre-Weil pour un régime de paramètres, et traitent souvent de courbes plus générales, e.g. réductibles et/ou singulières. De telles bornes sont intéressantes en soi, et s'avèrent également utiles pour des applications à la théorie des codes.

Dans cet exposé, nous allons montrer que le nombre de points rationnels d'une courbe irréductible de degré delta définie sur un corps fini Fq et plongée dans une surface S de P^3 de degré d est, sous certaines conditions, borné par delta(d+q-1)/2. Selon les valeurs de delta et q, ce résultat améliore toutes les autres bornes connues dans le contexte des courbes  de P^3. La méthode utilisée s'inspire des techniques développées par Stöhr et Voloch.
  Après avoir rappelé quelques résultats généraux sur la théorie des ordres d'une courbe de P^3, nous allons étudier les propriétés arithmétiques des courbes plongées sur une surface de P^3, pour ensuite prouver la borne.  
 
Il s'agit d'un travail en commun avec E. Berardini : https://arxiv.org/abs/2111.09578