Une formule de classes pour une famille de modules d’Anderson

En 2012, Lenny Taelman a démontré une formule de classes pour les modules de Drinfeld dans le cas où le corps de base est de genre 0. Dans cette formule, la série L associée au module de Drinfeld s’écrit comme le produit du générateur de l’idéal de Fitting du module de classes et du régulateur des unités. De nombreux autres cas de cette formule de classes ont été démontrés depuis, impliquant des hypothèses sur le module de Drinfeld ou sur son anneau de définition, mais aussi pour des modules d’Anderson (généralisations des modules de Drinfeld où les coefficients sont maintenant des matrices). Nous présenterons ici une preuve de la formule de classes pour une large famille de modules d’Anderson contenant les modules abéliens et les modules A-finis, ce qui implique en particulier la formule en toute généralité pour un module de Drinfeld défini sur un anneau « général » quelconque.

La stratégie repose sur l’utilisation des unités de Stark associées au module d’Anderson. On construit d’abord la z-déformation du module, qui consiste à tordre l’action du frobenius par une variable z. Les unités de Stark sont alors les spécialisations des « z-unités » et forment un sous-réseau du réseau des unités. Cette approche permet de travailler sur les z-unités, à un niveau formel, sans avoir à considérer les opérateurs nucléaires de la preuve de Taelman.

Il s’agit d’un travail en commun avec B. Anglès et T. Ngo Dac.

L’exposé aura lieu sur BigBlueButton (code d’accès: 348329).