Variations autour des méandres (avec V. Delecroix, E. Goujard et P. Zograf)

Un méandre est une configuration topologique de paire de courbes fermées simples sur la sphère (historiquement plutôt dans le plan), s'intersectant transversalement. Ils apparaissent en combinatoire, physique théorique et biologie computationnelle, et leur énumération est toujours un problème ouvert. On peut définir de la même façon des méandres en genre supérieur en considérant des paires de courbes fermées simples sur des surfaces de plus grand genre. Dans cet exposé on s'intéresse au comptage de ces méandres dans certains régimes combinatoires.

Tous les résultats découlent des dernières avancées dans le comptage des surfaces à petits carreaux et d'évaluation des volumes de Masur-Veech, car on verra que les méandres peuvent s'interpréter comme des surfaces à petits carreaux particulières. L’élément clef des preuves est d’origine dynamique : nous démontrons et nous utilisons l’équidistribution des surfaces à petits carreaux à combinatoire fixée ainsi que non-corrélation des feuilletages verticaux et horizontaux des surfaces à petits carreaux. Comme application nous proposons une solution d’un vieux problème d’Arnold sur les propriétés statistiques des échanges d’intervalles entiers.