Variétés faiblement Kähler hyperboliques et conjecture de Green-Griffiths-Lang

Au début des années 90, M. Gromov a introduit la notion de variété Kähler hyperbolique et étudié les propriétés fondamentales de telles variétés.
Entre autre, elles sont de type général et hyperboliques au sens de Kobayashi. Motivés par une conjecture de Lang qui impliquerait que tout sous-variété (lisse ou pas) d’une variété Kähler hyperbolique est de type général, nous allons introduire une variante de la notion de Gromov, à savoir les variétés faiblement Kähler hyperboliques et prouver un résultat de trou spectral pour ces variétés, qui étend les résultats de Gromov.
Ceci implique qu’une variété faiblement Kähler hyperbolique est de type général aussi et a comme corollaire la conjecture de Lang pour les variétés Kähler hyperboliques. 
Pour terminer, nous allons expliquer comment prouver qu’une variété faiblement Kähler hyperbolique satisfait la conjecture de Green-Griffiths.
 
 
Travail en collaboration avec F. Bei, P. Eyssidieux, et S. Trapani.